León-Sotelo.

Begin with m₀ = 0; d₀ = 1; and a₀ = 10 (10² = 100 and 11² = 121 > 114 so 10 chosen).

So, m₁ = 10; d₁ = 14; and a₁ = 1.

Now, loop back to the second equation above.

Consequently, the simple continued fraction for the square root of 114 is

Its actual value is approximately 10.67707 82520 31311 21….

En esta página como no esta de lo mas claro:

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#sqrtcf

¿Cuantos ceros hay que escribir al escribir los numeros enteros desde el 1 al 222.222.222? 

Pues estos:

22.222.222 + 22.222.220+22.222.200+22.222.000+

22.220.000

+22.200.000+22.000.000+20.000.000

=175.308.642 ceros

22.222.222+22.222.220+

22.222.200+

22.222.000+22.220.000

22.200.000+22.000.000+

20.000.000=

175.308.642 Ceros.

Esta parte de los estrictamente crecientes es facil de ver.En primer
lugar el que sean estrictamente crecientes nos obliga a que sean
distintos.Tomamos pues las Variaciones ordinarias  de 7 tomadas de 5
en 5  es decir V(7,5)= 7*6*5*4*3=2520.
En estos 2520 números estan contenidos numeros de cinco digitos como
por ejemplo el
12345 y todas sus posibles permutaciones que son 5!=120  asi que por
cada 120 numeros de la lista solo uno(el 12345) tiene sus cifras en
orden estrictamente creciente.Por lo tanto si dividimos 2520 entre
120=21 tendremos los numeros que tienen sus dígitos en orden
estrictamente creciente.

En cuantos strings los dígitos son crecientes?

En el caso de VR(7,5), para 7 digitos tomados de 5 en 5 tenemos 7^5= 16807 numeros
de cinco digitos.Para calcular los que estan ordenados en orden
creciente, calculamos CR(7,5)= C(7+5-1,5)= C(11,5)=462  numeros de 5
cifras que aparecen ordenados desde el 11111 al 77777.
En resumen, al pasar de Variaciones a Combinaciones en los dos casos
tanto sin repeticion como con ella eliminamos todos los números que
contienen los mismos dígitos pero en otro orden por lo que solo
cogeremos digamos el “elemento canonico de cada permutación” que
precisamente será  el que tiene sus digitos ordenados.

León-Sotelo.

1) Numero de funciones de A a B = m^n (m elevado a la n)

2) Para que haya funciones biyectivas debe ser n = m. En tal caso
Numero de funciones biyectivas = n! = n(n-1)(n-2) …. 3·2·1

3) Para que haya funciones inyectivas debe ser n <= m. Resulta:
Numero de funciones inyectivas = D(m, n) = m! / (m-n)!

4) Para que haya funciones sobreyectivas debe ser n >= m.
Este es más complicado:
Numero de funciones sobreyectivas =
= Suma de i = 0 a m-1 de (-1)^i C(m,i) (m – i)^n
donde C(m, i) = m! / [i!(m - i)!]

The Principle of Mathematical Induction

• Let P(n) be a statement which, for each integer n, may either be true or false.
• To prove P(n) is true for all integers n>= 1, it suffices to prove
  1. P(1) is true.
  2. For all k >= 1, P(k) implies P(k+1).

General Case

• For all n that belong to N, P(n) is true for all n >= n₀if
  1. P(n₀) is true.
  2. For all k >= n₀, P(k) implies P(k+1).
• n₀ is called the basis of induction and it may be any integer.

Three Steps to a Proof using Induction

1. Basis of Induction
   • Show that P(n₀) is true.
2. Inductive Hypothesis
   • Assume P(k) is true for k >= n₀.
3. Inductive Step
   • Show that P(k+1) is true on the basis of the inductive hypothesis.

http://condor.depaul.edu/ichu/csc415/notes/notes1/Induction.html

Por cada fila de tres que aparecen en el listado solo una de ellas està ordenada  en orden creciente, y hay 3! luego si dividimos V(5,3) por 3! obtenemos las que estan en orden creciente.Es decir que C(n,m) nos da el numero de secuencias de V(n,m) que estan ordenadas en orden estrictamente creciente.

V(5,3)/3!=60/10= C(5,3)

De igual forma para las Variaciones con repeticion VR(5,3)=125  y de ellas las que estan ordenadas en orden creciente (ya no estricto, porque hay repeticiones)son las  CR(5,3)=C(5+3-1,3)=C(7,3)=35

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/calcula12.html