La ecuación de Pell
Vamos a empezar por una ecuación de Pell sencilla por ejemplo x^2-sqrt(13)y^2=1.
El desarrollo de sqrt(13) en fracción continua es [3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6,
1, 1, 1, 1, 6...] de periodo 5 que es impar por lo que tomamos la decima reducida
(en general si el periodo p es impar tomando la que ocupe el lugar 2p
nos da la primera solución) en nuestro caso esas diez reducidas son:
3/1, 4/1, 7/2, 11/3, 18/5, 119/33, 137/38,256/71, 393/109, 649/180 …
Si el periodo de la expresión en función continua hubiese sido par de valor p
tomaríamos la reducida que ocupa el lugar p pero de todas maneras lo mejor
es probar y así de camino descubrimos las distintas familias a que da lugar.
Probamos el 3/1 y obtenemos 3^2-13*1^2=-4 (familia del -4)
Probamos el 4/1 y obtenemos 4^2-13*1^2= 3 (familia del 3) … así las probariamos
todas hasta que se repitan las familias.Aqui tenemos todas probadas:
((3,1)-4),((4,1),3), ((7,2),-3), ((11,3),4), ((18,5),-1), ((119,33),4), ((137,38),-3),
((256,71),3), ((393,109),-4), ((649,180),1), ((4287,1189),-4) y por
tanto las distintas familias son (-4,3,-3,4,-1,4,-3,3,-4,1, en total 8 familias)
Para resolver x^2-sqrt(13)y^2=1.la primera que da 1 es la (649,180) que pasamos
a comprobarla 649^2-13*180^2=1 y efectivamente así es,obsérvese
también que es la que resulta de tomar diez términos de:
[3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1] que lo podemos poner
rápidamente en forma de fraccion este enlace:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html
[3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1] =649/180
Obtenida la primera las siguientes las obtenemos aplicando la
conocida formula de las ecuaciones de Pell :
x(x)=((649+180sqrt(13))^x+(649-180sqrt(13))^x)/(2)
y(x)=((649+180sqrt(13))^x-(649-180sqrt(13))^x)/(2sqrt(13))
(El exponente lo he llamado x en vez de n para que se pueda
copiar y pegar directamente en la calculadora de:
que como primeras soluciones nos da:
((649,180),1), ((842401,233640),1), (1093435849,303264540),1) …
todas ellas de la familia del 1
Vamos a resolver ahora x^2+sqrt(13)y^2=-1.Ya lo tenemos “chupao”.
La primera que da -1 es la (18,5) es decir.Ahora lo unico
a tener en cuenta es
que al ser (18+5sqrt(13))^x(18-5sqrt(13))^x=-1
solo las potencias impares pueden dar lugar a valores
negativos por lo que
hemos de dar a x los valores 1,3,5,7… en las formula de la familia del -1:
x(x)=((18+5sqrt(13))^x+(18-5sqrt(13))^x)/(2)
y(x)=((18+5sqrt(13))^x-(18-5sqrt(13))^x)/(2sqrt(13))
donde obtenemos ((18,5),-1), ((23382,6485),-1),
((30349818,8417525),-1)…
para la familia del -1.
A tener en cuenta que estas ecuaciones x^2+sqrt(n)y^2=-1 no tienen solución
si el número n no se puede poner como suma de dos cuadrados perfectos para
lo que recordemos no puede existir en la descomposición factorial de n ningún
numero de la forma 4k+3 con potencia impar.En este caso 13 es de la forma 4k+1 por lo
que lo podemos poner como suma de dos cuadrados
(13=3^2+2^2 luego hay solución y solo las potencias impares).
Para obtener las soluciones de x^2-sqrt(13)y^2=-4 en principio vamos a “cruzar” las
infinitas soluciones de la x^2-sqrt(13)y^2=-1 con las que generan la familia del 4
o sea x^2-sqrt(13)y^2=4 que si lo miramos aquí: http://www.math.fau.edu/Richman/pell-m.htm
solo hay dos la (11,3) y la (119,33).Vamos con el primer “cruce” de la
(11,3) de la familia 4 con la la de la familia -1 que es la (18,5).
x(x)=((18+5sqrt(13))^x(11+3sqrt(13))+(18-5sqrt(13))x(11-3sqrt(13)))/(2).
y(x)=((18+5sqrt(13))x(11+3sqrt(13))-(18-5sqrt(13))x(11-3sqrt(13)))/(2sqrt(13)).
Recordemos que como estamos con la familia del -1
solo podemos dar valores impares al exponente x 1,3,5…
((393,109),-4), ((510117,141481),-4), ((662131473,183642229),-4)…
que son de la familia del -4.
Solo nos queda cruzar el (18+5sqrt(13)) del -1 con la 119+33sqrt(13) del 4
y todavia no se ha acabado.¿Que falta?
Nos falta “cruzar” las soluciones de 1 con las de -4 ya que con (1)*(-4) tambien se consigue el deseado -4 es decir debemos de “cruzar”
(649,180) con (3,1) y (649,180) con (393,109)x(x)=((649+180sqrt(13))^x(3+sqrt(13))+(649-180sqrt(13))x(3-1sqrt(13)))/(2).
y(x)=((649+180sqrt(13))x(3+sqrt(13))-(649-180sqrt(13))x(3-1sqrt(13)))/(2sqrt(13)).
Ahora si damos a x valores naturales seguidos 1,2,3,…
((3,1),-4), ((4287,1189),-4), ((5564523,1543321),-4)… y de igual manera:
x(x)=((649+180sqrt(13))^x(393+109sqrt(13))+(649-180sqrt(13))x(393-109sqrt(13)))/(2).
y(x)=((649+180sqrt(13))x(393+109sqrt(13))-(649-180sqrt(13))x(393-109sqrt(13)))/(2sqrt(13)).
((393,109),-4), ((510117,141481),-4), ((662131473,183642229),-4)… donde observamos
que salvo la ((3,1),-4) no se consigue ninguna solución
nueva y esta última la podiamos
conseguir dando el valor -1 al exponente x tal como hicimos
por lo que tampoco es una una solución nueva sino que ya
la teniamos.
Ahora creo que estan ya todas las soluciones de x^2-sqrt(13)y^2=-4
León-SoteloAqui tenemos una Pell solucionada de tres formas por Ignacio:
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