Correlación regresión tipo.

•diciembre 5, 2011 • Dejar un comentario

http://www.vitutor.com/estadistica/bi/2.html

León-Sotelo.

Escrito en Estadistica

Por término medio

•diciembre 4, 2011 • Dejar un comentario

Por termino medio

 
Cuantas veces por término medio he de lanzar una moneda para que aparezcan tres caras consecutivas?¿Cuantas veces por término medio he de lanzar un dado para que aparezcan tres seises consecutivos?Me contesto:Para la primera pregunta resuelvo la ecuación x=(1/2)*(1+x)+(1/4)*(2+x)+(1/8)*(3+x)+(1/8)*3 y x=14 veces. Para la segunda pregunta resuelvo la ecuación x=(5/6)*(1+x)+(5/36)*(2+x)+(5/216)*(3+x)+3/216 y x=258 veces.

Escrito en Estadistica, Probabilidad, Trucos

Fracción continua de sqrt(114)

•diciembre 4, 2011 • Dejar un comentario

Example, square root of 114 as a continued fraction

Begin with m0 = 0; d0 = 1; and a0 = 10 (102 = 100 and 112 = 121 > 114 so 10 chosen).

<br /><br /><br /> \begin{align}<br /><br /><br /> \sqrt{114} & = \frac{\sqrt{114}+0}{1} = 10+\frac{\sqrt{114}-10}{1} = 10+\frac{(\sqrt{114}-10)(\sqrt{114}+10)}{\sqrt{114}+10} \\<br /><br /><br /> & = 10+\frac{114-100}{\sqrt{114}+10} = 10+\frac{1}{\frac{\sqrt{114}+10}{14}}.<br /><br /><br /> \end{align}<br /><br /><br /> ” /></strong></dd> </dl> <dl> <dd><strong><img src=
d_{1} = \frac{S-m_{1}^2}{d_0} = \frac{114-10^2}{1} = 14 \,.
a_{1} = \left\lfloor \frac{a_0+m_{1}}{d_{1}} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{10+10}{14} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{20}{14} \right\rfloor = 1 \,.

So, m1 = 10; d1 = 14; and a1 = 1.

<br /><br /><br /> \frac{\sqrt{114}+10}{14} = 1+\frac{\sqrt{114}-4}{14} = 1+\frac{114-16}{14(\sqrt{114}+4)} = 1+\frac{1}{\frac{\sqrt{114}+4}{7}}.<br /><br /><br /> ” /></strong></dd> </dl> <p><strong>Next, <em>m</em><sub>2</sub> = 4; <em>d</em><sub>2</sub> = 7; and <em>a</em><sub>2</sub> = 2.</strong></p> <dl> <dd><strong><img src=
\frac{\sqrt{114}+10}{7}=2+\frac{\sqrt{114}-4}{7}=2+\frac{98}{7(\sqrt{114}+4)} = 2+\frac{1}{\frac{\sqrt{114}+4}{14}}.
\frac{\sqrt{114}+4}{14}=1+\frac{\sqrt{114}-10}{14}=1+\frac{14}{14(\sqrt{114}+10)} = 1+\frac{1}{\frac{\sqrt{114}+10}{1}}.
\frac{\sqrt{114}+10}{1}=20+\frac{\sqrt{114}-10}{1}=20+\frac{14}{\sqrt{114}+10} = 20+\frac{1}{\frac{\sqrt{114}+10}{14}}.

Now, loop back to the second equation above.

Consequently, the simple continued fraction for the square root of 114 is

\sqrt{114} = [10;1,2,10,2,1,20,1,2,10,2,1,20,1,2,10,2,1,20,\dots].\,

Its actual value is approximately 10.67707 82520 31311 21….

En esta página como no esta de lo mas claro:

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#sqrtcf

Escrito en Aritmética, Discreta, Number Theory, Temas olímpicos

Perpendicular común rectas cruzan

•diciembre 2, 2011 • Dejar un comentario

http://aulafacil.com/matematicas/angulos-distancias/curso/Lecc-10.htm

Escrito en Geometria

Sumando doses o calculando ceros

•noviembre 15, 2011 • Dejar un comentario

 

¿Cuantos ceros hay que escribir al escribir los numeros enteros desde el 1 al 222.222.222? 

Pues estos:

22.222.222 + 22.222.220+22.222.200+22.222.000+

22.220.000

+22.200.000+22.000.000+20.000.000

=175.308.642 ceros

 

 

 

22.222.222+22.222.220+

22.222.200+

22.222.000+22.220.000

22.200.000+22.000.000+

20.000.000=

175.308.642 Ceros.

Escrito en Aritmética, Combinatoria, Discreta

Diofántica con tres o mas variables

•noviembre 9, 2011 • Dejar un comentario
18x+45y-20z+49w=11. Pasamos el 49w hacia el otro lado y nos queda:
 
 18x+45y-20z=11-49w.Dado que mcd(18, 45,-20)= 1 podemos igualar a esta nueva variable y1
18x+45y-20z=11-49w=y1, ecuación 11-49w=y1 que calculamos su solución. y1=60+49t,w=-1-t
 
Pasamos ahora al otro lado el -20z quedando 18x+45y=20z+ otra variable.Dado que mcd(18,45)=9 la nueva variable que ponemos aqui no es y2 sino 9*y2 para que haya solucion quedandonos:
18x+45y=20z+y1=9*y2  y resolvemos esta ecuacion 20z+y1=9y2  dando y1 por ya conocida como así es.
La solucion particular de 20z+y1=9*y2   es (9*y1,4*y1) o sea y2=9*y1+20t’,z=4*y1+9t’ de donde
y2=540+441t+20t’,z=240+196t+0t’
 
Nos queda 18x+45y=9*y2  que para su  solucion particular podemos dividir por 9 quedando 2x+5y=y2
con solucion particular (3*y2 ,-y2) y la solucion general x=3*y2+5t”,y=-y2-2t” con lo que sustituyendo las
anteriores obtenidas tendremos x=1620+1323t+60t’+5t”,y=-540-441t-20t’-2t”.
 
Anadimos aqui abjuntada otra solucion con otro tipo de parametizacion con calculadora muy curiosa.
La corremos para nuestra ecuacion 18x+45y-20z+49w=11
 
Este programa muestra los pasos necesarios para resolver
cualquier ecuación diofántica de primer grado, con
cualquier número de incógnitas.
 
Teclea una ecuación como 13x+18y+42z=3 en la línea de
arriba,
o teclea ? para más información
 
 
18x+45y-20z+49w=11
Coeficientes: 18,45,-20,49 –> Mínimo: 18
División entera por 18: 18x+36y-18z+36w+9y-2z+13w=11
Introducimos la variable u=x+2y-z+2w: 18u+9y-2z+13w=11
 
18u+9y-2z+13w=11
Coeficientes: 9,-2,13 –> Mínimo: 2
División entera por 2: 18u+8y-2z+12w+y+w=11
Introducimos la variable v=9u+4y-z+6w: 2v+y+w=11
 
Podemos despejar y=-2v+11-w
y=-2v+11-w
 –> w=-2v+11-y
 
v=9u+4y-z+6w
 –> z=9u+4y-v+6w
 –> z=9u+4y-v-12v+66-6y
 –> z=9u-2y-13v+66
 
u=x+2y-z+2w
 –> x=u-2y+z-2w
 –> x=u-2y+z+4v-22+2y
 –> x=u+z+4v-22
 –> x=u+4v-22+9u-2y-13v+66
 –> x=10u-9v+44-2y
 
En resumen
———-
x=-2y+44+10u-9v
z=-2y+66+9u-13v
w=-y+11-2v

Escrito en Aritmética, Combinatoria, Discreta

Ordenar Variaciones con y sin repetición

•noviembre 7, 2011 • Dejar un comentario

2)Considerar los “strings” de longitud 5 formados por los dígitos
1,2,3,4,5,6,7. a)¿En cuantos strings los dígitos son estrictamente
crecientes?

Esta parte de los estrictamente crecientes es facil de ver.En primer
lugar el que sean estrictamente crecientes nos obliga a que sean
distintos.Tomamos pues las Variaciones ordinarias  de 7 tomadas de 5
en 5  es decir V(7,5)= 7*6*5*4*3=2520.
En estos 2520 números estan contenidos numeros de cinco digitos como
por ejemplo el
12345 y todas sus posibles permutaciones que son 5!=120  asi que por
cada 120 numeros de la lista solo uno(el 12345) tiene sus cifras en
orden estrictamente creciente.Por lo tanto si dividimos 2520 entre
120=21 tendremos los numeros que tienen sus dígitos en orden
estrictamente creciente.

En cuantos strings los dígitos son crecientes?

En el caso de VR(7,5), para 7 digitos tomados de 5 en 5 tenemos 7^5= 16807 numeros
de cinco digitos.Para calcular los que estan ordenados en orden
creciente, calculamos CR(7,5)= C(7+5-1,5)= C(11,5)=462  numeros de 5
cifras que aparecen ordenados desde el 11111 al 77777.
En resumen, al pasar de Variaciones a Combinaciones en los dos casos
tanto sin repeticion como con ella eliminamos todos los números que
contienen los mismos dígitos pero en otro orden por lo que solo
cogeremos digamos el “elemento canonico de cada permutación” que
precisamente será  el que tiene sus digitos ordenados.

León-Sotelo.

Escrito en Discreta

Número de funciones entre conjuntos

•noviembre 5, 2011 • Dejar un comentario
Sean A y B los dos conjuntos, y sea n el numero de elementos de A, m el numero de elementos de B.Entonces:

1) Numero de funciones de A a B = m^n (m elevado a la n)

2) Para que haya funciones biyectivas debe ser n = m. En tal caso
Numero de funciones biyectivas = n! = n(n-1)(n-2) …. 3·2·1

3) Para que haya funciones inyectivas debe ser n <= m. Resulta:
Numero de funciones inyectivas = D(m, n) = m! / (m-n)!

4) Para que haya funciones sobreyectivas debe ser n >= m.
Este es más complicado:
Numero de funciones sobreyectivas =
= Suma de i = 0 a m-1 de (-1)^i C(m,i) (m – i)^n
donde C(m, i) = m! / [i!(m - i)!]

En realidad son el numero  de Stirling multiplicado por n!,
por ejemplo S(6,3)=90  y 3!*S(6,3)= 540 =C(3,3)*3^6-C(3,2)*2^6+C(3,1)*1^6-C(3,0)*0^6=729-3*64+3 =540 y de aqui sacamos el  numero
de Stirling S(6,3)=540/3!=90.
La demostracion de todas estas formulas, si las necesitas, las hallas aquí:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/romagnoli/bell.pdf
C:\Documents and Settings\Francisco\Escritorio\Combinatoria  Funciones generadoras

Escrito en Combinatoria, Discreta

The Principle of Mathematical Induction

•noviembre 5, 2011 • Dejar un comentario

 La inducción es un proceso por el cual de varios casos particulares obtenemos una ley general

The Principle of Mathematical Induction

  • Let P(n) be a statement which, for each integer n, may either be true or false.
  • To prove P(n) is true for all integers n>= 1, it suffices to prove
    1. P(1) is true.
    2. For all k >= 1, P(k) implies P(k+1).

General Case

  • For all n that belong to N, P(n) is true for all n >= n0if
    1. P(n0) is true.
    2. For all k >= n0, P(k) implies P(k+1).
  • n0 is called the basis of induction and it may be any integer.

Three Steps to a Proof using Induction

  1. Basis of Induction
    • Show that P(n0) is true.
  2. Inductive Hypothesis
    • Assume P(k) is true for k >= n0.
  3. Inductive Step
    • Show that P(k+1) is true on the basis of the inductive hypothesis.

http://condor.depaul.edu/ichu/csc415/notes/notes1/Induction.html

Escrito en Matemáticas de siempre

Contando variaciones crecientes.

•noviembre 5, 2011 • Dejar un comentario

Sean V(5,3)=60

Por cada fila de tres que aparecen en el listado solo una de ellas està ordenada  en orden creciente, y hay 3! luego si dividimos V(5,3) por 3! obtenemos las que estan en orden creciente.Es decir que C(n,m) nos da el numero de secuencias de V(n,m) que estan ordenadas en orden estrictamente creciente.

V(5,3)/3!=60/10= C(5,3)

De igual forma para las Variaciones con repeticion VR(5,3)=125  y de ellas las que estan ordenadas en orden creciente (ya no estricto, porque hay repeticiones)son las  CR(5,3)=C(5+3-1,3)=C(7,3)=35

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/calcula12.html

Escrito en Álgebra, Combinatoria, Discreta

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